Linear algebra
My Linear Algebra notes accompanied with related studies using Python functions written by me to automate some types of calculations and exercises. These functions mainly leverage the SymPy library (for symbolic mathematics, for the linear systems and combinations), along with NumPy and SciPy. Many of the following sections were created, tested and exported to the site using Jupyter Notebook.
I am aware that some of the functions in these sections can be replaced by simple methods provided by numpy; or even that many of them can look cumbersome, writable and structurable in a more optimized or cleaner way by leveraging the same libraries; however, these functions are to be considered as "notes" of a flow of thoughts aimed at learning and consolidating the concepts expressed in the various sections.
The functions reported in the various sections were therefore developed for study and exercise purposes, without the help of any AI or code generator. Going forward with the sections, it is possible to observe a growing awareness and optimization of the use of mathematical libraries.
The following sections are written in italian (they directly come from my notes). Until I'll do it, you can translate them through the browser.
Matrici e vettori
- Matrici e vettori
- Risoluzione sistema lineare
- Combinazioni lineari
- Vettori linearmente indipendenti
- Equazioni cartesiane da un sistema di generatori
- Coordinate rispetto ad una base
- Matrice di cambiamento di base
- Dimensione e base dello spazio di soluzioni
- Base da sistema di generatori
- Completamento a base e teorema di completamento
- Somma e intersezione di sottospazi vettoriali
- Somma diretta di sottospazi vettoriali
- Sottospazi supplementari e sottospazi complementari
- Autovalori ed autovettori di una matrice
- Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
- Matrice diagonalizzabile
- Matrice triangolarizzabile
- Polinomio minimo
- Matrice simmetrica e antisimmetrica
- Matrice definita positiva, negativa, semidefinita e indefinita
- Segnatura di una matrice
- Matrice ortogonale
Applicazioni lineari
- Definizione di applicazione lineare
- Applicazioni lineari definite da una matrice
- Applicazioni lineari definite da immagini di vettori
- Matrice associata ad applicazione lineare
- Formula del cambiamento di base per applicazioni lineari
- Nucleo di un'applicazione lineare
- Immagine di una applicazione lineare
- Dimensione e base di nucleo e immagine
- Applicazioni lineari con spazi matrici
- Applicazioni lineari con spazi polinomiali
- Omomorfismo, endomorfismo, isomorfismo, monomorfismo, epimorfismo
- Autovalori, autospazi ed autovettori di un endomorfismo
- Base di autovettori ed endomorfismo diagonalizzabile
- Forme bilineari
- Prodotto scalare
- Matrice associata a un prodotto scalare
- Segno di un prodotto scalare
- Prodotto scalare degenere e radicale di un prodotto scalare
- Norma indotta da un prodotto scalare
- Ortogonalizzazione di Gram-Shmidt
- Complemento ortogonale di un sottospazio
- Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio
- Forme quadratiche
- Matrice associata una forma quadratica
- Forma canonica e forma normale
Geometria analitica
- Riferimenti cartesiani
- Equazioni parametriche del piano
- Equazione cartesiana del piano
- Dalle equazioni parametriche del piano all'equazione cartesiana
- Dall'equazione cartesiana del piano alle equazioni parametriche
- Coefficenti direttori del piano
- Piani paralleli e piani coincidenti
- Equazioni parametriche della retta
- Equazioni cartesiane della retta
- Dalle equazioni parametriche della retta alle equazioni cartesiane
- Dalle equazioni cartesiane della retta alle equazioni parametriche
- Direzione di una retta nello spazio
- Posizioni tra due rette nello spazio
- Coseni direttori e angolo tra due rette nello spazio
- Posizioni tra due piani
- Fascio di piani
- Posizioni retta-piano
- Angolo tra retta e piano
- Distanza tra due punti nello spazio
- Distanza di un punto da un piano
- Piano ortogonale a una retta e passante per un punto
- Distanza di un punto da una retta
- Distanza tra due piani
- Distanza tra due rette nello spazio
