Somma e intersezione di sottospazi vettoriali

Dimensione e base di somma tra due sottospazi definiti mediante generatori

  • i due sottospazi \(S\) e \(T\) sono generati da due sistemi di generatori (\(S = Span(s1, s2, ..., sm)\) e \(T = Span(t1, t2, ..., tn)\))
  • si estra la base di ciascuno dei due sistemi (\(\beta_S\) e \(\beta_T\)), vedasi "Base da sistema generatori", funzione estrapolaLinearmenteIndipendenti()
  • si uniscono le due basi in un unico insieme (\(\beta_S \cup \beta_T\)) individuando così un sistema di generatori di \(S+T\)
  • quindi, nuovamente, estrarre da (\(\beta_S \cup \beta_T\)) una base (stesso metodo) \(\beta_{S+T}\)
  • la base estratta \(\beta_{S+T}\) è base di \(S+T\) e la sua dimensione e la dimensione del sottospazio somma \(S+T\)

Dimensione e base di somma tra due sottospazi definiti da equazioni cartesiane

  • si estraggono le rispettive basi di \(S\) e \(T\) mettendo le equazioni cartesiani a sistema lineare ed effettuando quanto descritto nella sezione sopra "Base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo" (funzione baseDaSpazioSoluzioniSistema())
  • si uniscono le due basi estratte (\(\beta_S \cup \beta_T\)) che vanno a costituire un sistema di generatori di \(S+T\), da cui poi estrarre nuovamente la base (vedasi "Base da sistema generatori", funzione estrapolaLinearmenteIndipendenti() ) che sarà base di \(S+T\) e dimensione

Dimensione e base di intersezione tra due sottospazi definiti mediante generatori

  • si estraggono le due basi dai sistemi di generatori (vedasi "Base da sistema generatori", funzione estrapolaLinearmenteIndipendenti() )
  • si pone la combinazione lineare della prima base = alla combinazione lineare della seconda (\(a_1s_1+a_2s_2+..+a_ms_m = b_1t_1+b_2t_2+..+b_nt_n\)) (poichè ciascun vettore di \(S\) intersecato a \(T\) si può estrimere come comb. lineare di entrambe le basi)
  • dunque si mettono a sistema lineare (ad esempio la prima equazione è il risultato di \(a_1s_1\) uguale al risultato \(b_1t_1\))
  • si risolve il metodo lineare (vedi "Risoluzione sistema lineare"), usando il parametro libero si sostituiscono quindi le soluzioni alle incognite della combinazione lineare
  • si procede con i calcoli arrivando ad ottonere le componenti del vettore corrispondente alla combinazione lineare e, raccogliendo i parametri liberi, emergono i vettori che costituiscono base dello spazio \(S \cap T\)
  • per maggiori info vedi: Base dell'inersezioni di spazi vettoriali

Dimensione e base di intersezione tra due sottospazi definiti mediante equazioni cartesiane

Nello spazio polinomiale/matriciale

Ricondurre i polinomi o le matrici a componenti vettoriali mettendoli in colonna sull'odine della base canonica (vedasi come descritto in "Base da sistema generatori") e compiere i passaggi descritti sopra. I vettori costituenti la base risultante vanno riconvertiti ovviamente nella forma di polinomio o matrice. (Il caso dei polinomi si vede bene qui https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/matrici-e-vettori/3873-somma-diretta.html, all'esempio 2 di come stabilire se spazio è somma diretta di due sottospazi).

Riferimenti

  • https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/matrici-e-vettori/743-dimensione-e-base-di-somma-e-intersezione.html