Applicazioni lineari definite da una matrice

Ogni matrice di \(m\) righe ed \(n\) colonne a coefficienti in campo \(\mathbb{K}\) definisce un'applicazione lineare da \(\mathbb{K}^n\) a \(\mathbb{K}^m\). L'applicazione lineare è \(L_A({\textbf x}) := A{\textbf x}\) (prodotto tra matrice \(n \times m\) e vettore \({\textbf x}\) di dimensione \(m\)). Il vettore risultante di dimensione \(m\) scritto come componenti è la forma esplicita dell'applicazione lineare.

Esempio 1

A = sp.Matrix([[1,2], [4,5],[7,8]])

x1,x2 = sp.symbols("x1 x2")
"""Vettore colonna x in R^2"""
x = sp.Matrix([[x1],[x2]])
"""Ax"""
Ax = A*x
"""Forma esplicita"""
l_a_x1_x2 = [Ax[0], Ax[1], Ax[2]]
print(l_a_x1_x2)

[x1 + 2*x2, 4*x1 + 5*x2, 7*x1 + 8*x2]

Come da esercizio

Esempio 2

A = sp.Matrix([[2,5,-1], [1,0,3],[0,4,6]])

x1,x2,x3 = sp.symbols("x1 x2 x3")
"""Vettore colonna x in R^2"""
x = sp.Matrix([[x1],[x2],[x3]])
"""Ax"""
Ax = A*x
"""Forma esplicita"""
l_a_x1_x2_x3 = [Ax[0], Ax[1], Ax[2]]
print(l_a_x1_x2_x3)

[2*x1 + 5*x2 - x3, x1 + 3*x3, 4*x2 + 6*x3]

Come da esercizio.

Riferimenti

• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/applicazioni-lineari/699-applicazione-lineare-definita-da-una-matrice.html