Determinante di una matrice

\($A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 5 \\ 2 & -1 & 0 \\ 7 & -2 & 0\end{bmatrix}\)$ Dovrebbe risultare 15

import numpy
mat = numpy.array([[1,0,5], [2, -1, 0], [7,-2,0]])
round(numpy.linalg.det(mat))

15

Rango di matrice

import numpy
mat = numpy.array([[1,0,5], [2, -1, 0], [7,-2,0]])
numpy.linalg.matrix_rank(mat)

3

Matrice inversa

\($A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & 2\end{bmatrix}\)$

import numpy
mat = numpy.array([[1,0,1], [2, -1, 3], [1, 4, 2]])
numpy.linalg.matrix_rank(mat)

[[ 2.8, -0.8, -0.2], [ 0.2, -0.2, 0.2], [-1.8, 0.8, 0.2]]

\($A^{-1} = \begin{bmatrix}2.8 & -0.8 & -0.2 \\ 0.2 & -0.2 & 0.2 \\ -1.8 & 0.8 & 0.2\end{bmatrix}\)$

usare

from fractions import Fraction
Fraction(0.01).limit_denominator(100000)

per convertire in frazioni su campo \(\mathbb{N}\) i decimali

\($A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{14}{5} & -\frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{9}{5} & \frac{4}{5} & \frac{1}{5}\end{bmatrix}\)$

Matrice associata ad applicazione lineare

Data l'applicazione lineare \(F: V-> W\) e le rispettive basi degli spazi vettoriali \(\beta_V\) e \(\beta_W\). Si indica con:

\($A_F^{\beta_V,\beta_W}\)$

Per costruire la matrice associta all'applicazione lineare:

• determinare l'immagine rispetto all'applicazione \(F\) di ogni vettore della base \(\beta_V\): \(F(v_1), F(v_2), .., F(v_n)\)
• i vettori ottenuti dalle immagini dei vett della base sono elementi di \(W\) e dunque sono esprimbili come combinazione lineare dei vettori della base \(\beta_W\): \(F(v_n) = \sum_{m=1} a_{nm} w_m\)
• la matrice associata all'app. lineare (rispetto alle basi) si ottiene mettendo in colonna le coordinate dei vettori della combinazione lineare soprindicata: \(A_F^{\beta_V,\beta_W} =\) \(\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & .. & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & .. & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & .. & a_{mn}\end{bmatrix} \in a K^{m,n}\)

Se si prendono in considerazione le basi canoniche è sufficiente disporre in colonna le immagini risultanti dell'applicazione lineare.