Piano ortogonale a una retta e passante per un punto

Equazione del piano passante per un punto e ortogonale a una retta

Fissato rif. cartesiano ortonormale, si ha \(P(x_P,y_P,z_P)\) e \(r\) retta dello spazio. Trovare l'equazione del piano \(\alpha\) ortogonale alla retta \(r\) e passante per \(P\).

• Calcolare il vettore \({\textbf v}_r=(l,m,n)\) dei parametri direttori della retta \(r\) (vedi "Retta - Direzione nello spazio").
• Individuare \({\textbf n}=(a,b,c)\) direzione perpendicolare al piano \(\alpha\) derivante dall'equazione cartesiana del piano \(ax+by+cz+d=0\) che deve coincidere con \({\textbf v}_r\) perchè si sta cercando il piano ortogonale alla retta \(r\), per tanto diventa:

\(lx+my+nz+d=0\).

• Trovare il valore del coefficiente \(d\) sostituendo le coordinate dell'equazione del piano con quelle quelle di \(P(x_P,y_P,z_P)\):

\(lx_P+my_P+nz_P+d=0 \to d=-(lx_P+my_P+nz_P)\)

• Quindi, sostituendo il valore di \(d\) nell'equazione di \(\alpha\):

\(lx+my+nz-(lx_P+my_P+nz_P)=0\)

Funzione riassumibile

TODO

Riferimenti

• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/geometria-dello-spazio/685-piano-passante-per-un-punto-ortogonale-a-una-retta.html