Matrice simmetrica e antisimmetrica
Matrice trasposta
La matrice trasposta \(A^T\) di \(A\) si trova scambiando righe e colonne.
Matrice simmetrica
Simetrica se \(A = A^T\). Il che è intuibile se i coefficienti sono simmetrici rispetto alla diagonale principale.
Matrice antisimmetrica
Si dice antisimmetrica se \(A^T = -A\).
Relazione tra simm. e antisimm.
Ogni matrice \(M\) a coefficienti in campo \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\) si può scrivere come somma tra una matrice simmetrica \(S\) ed una matrice antisimmetrica
\(A: M = S + A\)
con \(S = \frac{1}{2}(M+M^T)\) e \(A = \frac{1}{2}(M-M^T)\). Ciò deriva in modo ovvio dalle rispettive ultime due proprietà.
Proprietà
Simmetriche
- Se una matrice simmetrica è invertible allora lo è anche l'inversa.
- Il rango di una matrice simmetrica è uguale al numero dei suoi autovalori non nulli.
- Gli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti asociati ad un amtrice simmetrica sono a due a due ortogonali, ossia il prod. scalare euclideo tra due autovettori è nullo
- Partendo da una matrice simmetrica è possibile definire un prodotto scalare qualsiasi e una forma quadratica (vedi sezioni successive)
- Se \(A\) simmetrica allora \(A^2=Id\)
- Se \(A\) quadrata qualsiasi allora \(A+A^T\) è simmetrica
Antisimmetriche
- I valori della diagonale principale sono tutti nulli: \(a_{ii} = 0 \quad \forall \in \{1,2,..,n\}\), pertanto la traccia è pari a zero
- Il determinante di una mat. antisimmetrica è \(\ge 0\), se è dispari allora è nullo. Ne segue che ogni mat. antisimmetrica di ordine dispari non è mai invertibile.
- Gli autovalori di una mat. antisimmetrica (a coeff. reali) sono tutti immaginari pure. Se \(\lambda_0\) autovalore, allora lo è sempre anche \(-\lambda_0\)
- Se \(A\) quadrata qualsiasi allora \(A-A^T\) è antisimmetrica.
Riferimenti
- https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/matrici-e-vettori/2692-matrici-simmetriche.html
