Matrice associata una forma quadratica

La matrice associata \(A\) di una forma quadratica è tale che:

\(Q(v) = x^TAx\)

dove \(x\) è il vettore colonna delle coordinate di \(v\) rispetto alla base \(\beta\) (base dello spazio vettoriale su cui la forma bilineare/prodotto scalare è definita).

Tale matrice corrisponde alla matrice associata al prodotto scalare (sulla stessa base) e quindi a quella della sua forma polare:

\(A_{\beta}(Q) = A_{\beta}(\varphi)\)

Ne consegue che, dato che le matrici associate di uno stesso prodotto scalare su diverse basi sono congruenti, lo sono anche tra di loro quelle associate alla stessa forma quadratica su diverse basi.

Calcolo

Si ricava ponendo sulla diagonale principale i coefficenti dei termini \(x_i^2\), mentre gli elementi di posto \(a_{ij}\) con \(i<j\) sono i coefficienti dimezzati di \(x_ix_j\). Gli elementi di posto \(a_{ij}\) con \(i>j\) si ricavano per simmetria.

Ad esempio \(Q(x_1,x_2,x_3) = 3x_1^2 + 2x_2^2 - x_3^2 + 4x_1x_3 + 6x_2x_3\) rispetto alla base canonica risulta nella matrice composta dei coefficienti di quanto segue: \(\begin{bmatrix}x_1^2&\frac{x_1x_2}{2}&\frac{x_1x_3}{2}\\\frac{x_1x_2}{2}&x_2^2&\frac{x_2x_3}{2}\\\frac{x_1x_3}{2}&\frac{x_2x_3}{2}&x_3^2\end{bmatrix}\)

vale a dire

\(\begin{bmatrix}3&0&4/2\\0&2&6/2\\4/2&6/2&-1\end{bmatrix}\)

Calcolo forma quadratica da matrice associata

\(Q(x_1,x_2,..,x_n) = \begin{bmatrix}x_1&x_2&..&x_n\end{bmatrix} \cdot A \cdot \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\..\\x_n\end{bmatrix}\)

prodotto tra matrici dove \((x_1,.,x_n)\) sono le componenti di un generico vettore rispetto alla base canonica.

Segno di una forma quadratica

Si riprende quanto visto nello studio del segno di un prodotto scalare (sezione "Segno di un prodotto scalare") che a sua volta riprende sezione "Matrice definita positiva, negativa, semidefinita, indefinita".

• definita positiva: \(Q(v) > 0 \forall v \in V, v \ne 0\)
• definita negativa: \(Q(v) < 0 \forall v \in V, v \ne 0\)
• semidefinita positiva: \(Q(v) \ge 0 \forall v \in V\)
• semidefinita negativa: \(Q(v) \le 0 \forall v \in V\)
• indefinita: \(\exists v,w \in V t.c. Q(v) \ge 0, Q(w) \le 0\)

Studio del segno

• Determinare la matrice simmetrica \(A\) associata alla forma quadratica (vedi sopra)
• Studiare la definitezza della matrice mediante i segni dei suoi autovalori (valgono le stesse condizionalità riportate nella sezione "Matrice definita positiva, negativa, semidefinita, indefinita"):
  • definita positiva: se gli autovalori sono positivi
  • definita negativa: se gli autovalori sono negativi
  • semidefinita positiva: se gli autovalori non sono negativi
  • semidefinita negativa: se gli autovalori non sono positivi
  • indefinita se esiste almeno una coppia di autovalori di segno discorde Per tale calcolo vedasi sezione "Autovalori ed autovettori".

Esempi

Si sfrutta la funzione formaPolareDiFormaQuadratica() scritta nella sezione "Forme quardratiche", la funzione matriceAssociataDiFormaBilineare() scritta nella sezione "Forme bilineari" e la funzione definizioneMatrice() scritta nella sezione "Matrice definita positiva, negativa, semidefinita e indefinita".

Esempio 1 - Matrice associata a forma quadratica

x1,x2,x3,y1,y2,y3 = sp.symbols("x1 x2 x3 y1 y2 y3")
forma_bilineare = [(x1,x2,x3),(y1,y2,y3)]
base = sp.eye(3)

def Q(_x1, _x2, _x3):
    return 3*_x1**2 + 2*_x2**2 - _x3**2 + 4*_x1*_x3 + 6*_x2*_x3

gamma = formaPolareDiFormaQuadratica(Q, forma_bilineare)
matrice_associata = matriceAssociataDiFormaBilineare(forma_bilineare, gamma, base)
print(sp.latex(matrice_associata))

\(\left[\begin{matrix}3 & 0 & 2\\0 & 2 & 3\\2 & 3 & -1\end{matrix}\right]\)

Come da esercizio.

Esempio 2 - Matrice associata a forma quadratica

x1,x2,x3,x4,y1,y2,y3,y4 = sp.symbols("x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4")
forma_bilineare = [(x1,x2,x3,x4),(y1,y2,y3,y4)]
base = sp.eye(4)

def Q(_x1, _x2, _x3, _x4):
    return _x1**2 + 3*_x2**2 -5*_x4**2 + 4*_x1*_x2 - 6*_x2*_x3 + 2*_x1*_x4 - 8*_x3*_x4

gamma = formaPolareDiFormaQuadratica(Q, forma_bilineare)

matrice_associata = matriceAssociataDiFormaBilineare(forma_bilineare, gamma, base)

print(sp.latex(matrice_associata))

\(\left[\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1\\2 & 3 & -3 & 0\\0 & -3 & 0 & -4\\1 & 0 & -4 & -5\end{matrix}\right]\)

Come da esercizio.

Esempio 3 - Segno di Forma Quadratica

x1,x2,x3,y1,y2,y3 = sp.symbols("x1 x2 x3 y1 y2 y3")
forma_bilineare = [(x1,x2,x3),(y1,y2,y3)]
base = sp.eye(3)

def Q(_x1, _x2, _x3):
    return _x1**2 - 2*_x2**2 + _x3**2 + 6*_x1*_x3

gamma = formaPolareDiFormaQuadratica(Q, forma_bilineare)
A = matriceAssociataDiFormaBilineare(forma_bilineare, gamma, base)

definizione = definizioneMatrice(A)
pprint.pprint(definizione)

{'definitaNegativa': False, 'definitaPositiva': False, 'indefinita': True, 'semidefinitaNegativa': False, 'semidefinitaPositiva': False}

Indefinita come da esercizio.

Esempio 4 - Segno di Forma Quadratica

    x1,x2,x3,y1,y2,y3 = sp.symbols("x1 x2 x3 y1 y2 y3")
    forma_bilineare = [(x1,x2,x3),(y1,y2,y3)]
    base = sp.eye(3)

    def Q(_x1, _x2, _x3):
        return 4*_x1**2 + _x2**2 + _x3**2 + 2*_x1*_x2 + 2*_x1*_x3

    gamma = formaPolareDiFormaQuadratica(Q, forma_bilineare)
    A = matriceAssociataDiFormaBilineare(forma_bilineare, gamma, base)

    definizione = definizioneMatrice(A)
    pprint.pprint(definizione)

{'definitaNegativa': False, 'definitaPositiva': True, 'indefinita': False, 'semidefinitaNegativa': False, 'semidefinitaPositiva': True}

Definita positiva, come da esercizio.

Riferimenti

• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/applicazioni-lineari/3986-matrice-rappresentativa-di-una-forma-quadratica.html
• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/applicazioni-lineari/3987-studio-del-segno-di-una-forma-quadratica.html