Distanza tra due rette nello spazio

In un sist. di rif cartesiano ortonormale, si hanno \(r\) e \(s\) due rette di cui calcolare \(d(r,s)\).

• Si procede effettuando lo studio della posizione reciproca (vedi "Posizioni tra due rette nello spazio").

  • \(r\) e \(s\) incidenti: \(d(r,s)=0\)
  • \(r\) e \(s\) coincidenti: \(d(r,s)=0\)
  • \(r\) e \(s\) parallele distinte: la loro distanza, non nulla, equivale alla distanza di un punto qualsiasi di \(r\) da \(s\), ossia \(d(r,s)=d(P,s) \quad con \quad P \in r\) (vedi "Distanza - punto da retta")

  • \(r\) e \(s\) sghembe: si calcola la minima distanza tra rette sghembe: 1) si cerca la distanza tra un punto qualsiasi di \(r\) e il piano \(\alpha\) passante per \(s\) parallelo ad \(r\):

    • si scrive l'equazione cartesiana del piano \(\alpha\) passante per \(s\) e parallelo a \(r\) (vedi "Piano ortogonale a una retta e passante per un punto"): \(\alpha: ax+by+cz+d=0\)

    • si fissa un punto qualsiasi \(P(x_P,y_P,z_P) \in r\)

    • si calcola la distanza di \(P\) dal piano \(\alpha\) (vedasi "Distanza - punto da piano"): \(d(P, \alpha) = \frac{ |ax_P +by_P+cz_P +d| }{ \sqrt{a^2+b^2+c^2} }\)

    • tale distanza è la distanza tra le rette: \(d(r,s)=d(P,\alpha)\) 2) oppure si calcola come distanza tra due punti \(P\) e \(Q\) appartenenti alle rispettive rette:

    • si ricavano le equazioni parametriche delle rette

    • si determina il vettore direzione delle rette (vedi "Retta - Direzione nello spazio"): \(v_r=(l,m,n)\) e \(v_s(l',m',n')\)

    • si indicano con \(P(t)\) e \(Q(u)\) i punti mobili delle rispettive rette, ossia i generici punti con coordinate espresse parametricamente:

      \(P(t)=(x_0+lt,y_0+mt,z_0+nt)\)

      \(Q(u)=(x'_0+l'u,y'_0+m'u,z'_0+n'u)\)

    • si determinano le componenti del vettore parametrico \(\overrightarrow{P(t)Q(u)}=Q(u)-P(t)=(x'_0+l'u-x_0-lt, y'_0+m'u-y_0-mt,z'_o+n'u-z_0-nt)\)

    • si impone che siano nulli i prodotti scalari tra tale vettore e i vettori direttori delle rette ricavando due equazioni lineari nelle incognite \(t\) e \(u\)

    • risolvendo il sistema si ottiene la soluzione \((t,u)=(\hat{t},\hat{u})\)

    • nelle coordinate del punto mobile \(P(t)\) della retta \(r\) si sostituisce \(t\) con \(\hat{t}\), facendo lo stesso per \(Q(u)\)

    • si calcola la distanza tra i due punti ottenuti (vedi "Distanza - 2 punti").

Funzione riassumibile

TODO: solo nel caso 1) delle sghembe (vedere se non esiste già sympy)

Riferimenti

• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/geometria-dello-spazio/4079-distanza-di-due-rette-nello-spazio.html