Autovalori, autospazi ed autovettori di un endomorfismo

Autovettore dell'endomorfismo: \(F({\textbf v}) = \lambda_0{\textbf v}\). In questo caso \(\lambda_0\) è l'autovalore. L'autospazio relativo a \(\lambda_0\) è \(V_{\lambda_0} = {{\textbf v} \in V, {\textbf v} \ne 0 \quad t.c. \quad F({\textbf v}) = \lambda_0{\textbf v}}\). Esso è un sottospazio di \(V\).

  • L'insieme di tutti gli autovalori di \(V\) si chiama spettro dell'endomorfismo \(F\) definito come \(sp(F)\) o \(\sigma(F)\).
  • Gli autovettori riferiti ad uno stesso autovalore sono infiniti
  • Ricavando una base da \(V_{\lambda_0}\). L'autospazio è il sottospazio generato dalla base

Calcolo autovalore/vettore/spazio di endomorfismo

  • Siccome \(F({\textbf v}) = \lambda_0{\textbf v}\) allora -> \(F({\textbf v}) - (\lambda_0{\textbf v}) = 0_V\) e \(Id_V({\textbf v}) = {\textbf v}\) quindi -> \(F({\textbf v}) - \lambda Id_V({\textbf v}) = 0_V\) scrivibile come \((F - \lambda Id_V){\textbf v} = 0_V\)
  • Si fissa la base \(\beta\) e si trova la matrice associata all'endomorfismo \(F\) rispetto a \(\beta\), mentre la matrice associata all'applicazione identica \(Id_V\) è l'identitaria \(Id_n\)
  • Sostituiamo: \((A - \lambda Id_n){\textbf x} = 0_{\mathbb{R}^n}\) dove \({\textbf x}\) è il vettore colonna delle coordinate di \({\textbf v}\) rispetto alla base \(\beta\)
  • Ne risulta un sistema lineare omogeneo in incognite \(x\) e determinato da \(\lambda\)
  • Ne si ottiene il polinomio caratteristico e quindi gli autovalori (radici del polinomio caratteristico) e le molteplicità algebriche (\(m_a(\lambda)\)) (vedi sezione "Molteplicità algebriche e geometriche")
  • Da qui, per ogni autovalore, si calcolano gli autovettori (come visto in sezione "Autovalori e autovettori") relativi agli autovalori, anche se dall'insieme degli autovettori trovati vanno esclusi quelli nulli. Gli autovettori associati agli autovalori distinti di un endomorfismo sono linearmente indipendenti.

Esempio 1

x,y,z,a,b,c = sp.symbols("x y z a b c")
b_v = sp.eye(3)

definizione = [2*x + 7*y - z, 2*y + 3*z, 2*z]

A = matriceAssociataDaFormaEsplicita(definizione, b_v, b_v, [x,y,z])

result = autovaloriMolteplicita(A)
print(result)

{'autovalori': [2], 'basiAutospazi': [Matrix([[1, 0, 0]])], 'molteplicitaAlgebriche': [3], 'molteplicitaGeometriche': [1]}

Esattamente come da esercizio.

Esempio 2

x,y,z,a,b,c = sp.symbols("x y z a b c")
b_v = sp.eye(3)

preimmagini = [sp.Matrix([[1,0,0]]),sp.Matrix([[0,1,0]]),sp.Matrix([[0,0,1]])]
immagini = [sp.Matrix([[3,1,5]]), sp.Matrix([[0,1,-1]]), sp.Matrix([[0,4,-3]])]

A = matriceAssociataDaImmaginiVettori(preimmagini, immagini, b_v, b_v)

result = autovaloriMolteplicita(A)
pprint.pprint(result)

{'autovalori': [3, -1], 'basiAutospazi': [Matrix([[1, 13/8, 9/16]]), Matrix([[1, 0, 0]])], 'molteplicitaAlgebriche': [1, 2], 'molteplicitaGeometriche': [1, 1]}

Tutti i valori tornano come da esercizio, ad eccezione delle basi, differenti per scelta differente di parametro libero.

Riferimenti

  • https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/applicazioni-lineari/3966-autovalori-autovettori-autospazi-di-un-endomorfismo.html