Riferimento cartesiano affine
Lo spazio ordinario è uno spazio vettoriale di dimensione 3, indicato con \(V^3\). Si fissano:
- un punto \(O\) detta origine
- una base di \(V^3\): \(\{{\textbf v}_1,{\textbf v}_2,{\textbf v}_3\}\)
- i rappresentanti della base aventi come origine \(O\) sono: \(\overrightarrow{OP_1},\overrightarrow{OP_2},\overrightarrow{OP_3}\).
Le rette che contengono tali vettori (quelli con origine \(O\)) sono rette orientate, non appartenenti allo stesso piano e misuranti ciascuna il modulo del vettore da cui sono definite:
\(u_1 = OP_1, u_2=OP_2,u_3=OP_3\)
Queste tre rette sono gli assi cartesiani affini dello spazio.
L'origine e i tre assi cartesiani costituiscono il sistema di riferimento affine dello spazio:
\(RA=(O, {\textbf v}_1,{\textbf v}_2,{\textbf v}v_1,v_2,v_3)\)
Coordinate affini
Un qualsiasi punto \(P\) dello spazio può essere associato ad una terna di numeri reali, che altro non sono che le coordinate di \(\overrightarrow{OP}\) rispetto alla base \(\{{\textbf v}_1,{\textbf v}_2,{\textbf v}v_1,v_2,v_3\}\) (\(\overrightarrow{OP} = x_Pv_1+y_Pv_2+z_Pv_3)\)):
\((x_P,y_P,z_P) \in \mathbb{R}^3\)
Ogni terna ordinata di coordinate individua unicamente un punto \(P\) dello spazio. Esse sono dette coordinate affini al punto \(P\). Essendoci una corrispondenza biunivoca i punti dello spazio sono \(\infty^3\).
Coordinate di un vettore dagli estremi di un suo rappresentante
Fissato un sistema di riferimento affine, si suppone che il vettore \(v\) sia assegnato tramite il suo rappresentante \(\overrightarrow{P_1P_2}\) di cui sono note le coordinate affini dei punti (estremi) che lo definiscono: \(P_1(x_1,y_1,z_1)\) e \(P_2(x_2,y_2,z_2)\). Per la regola del parallelogramma: \(v = \overrightarrow{P_1P_2} = \overrightarrow{OP_2} - \overrightarrow{OP_1} = x_2v_1 + y_2v_2 + z_2v_3 - (x_1v_1 + y_1v_2 + z_1v_3) = (x_2-x_1)v_1 + (y_2-y_1)v_2 + (z_2-z_3)v_3\) dimostrando che le coordinate di \(v\) rispetto alla base \(\{{\textbf v}_1,{\textbf v}_2,{\textbf v}v_1,v_2,v_3\}\) che definisce il sistema di riferimento affine uguagliano la differenza delle coordinate affini di \(P_2\) e \(P_1\).
Riferimento cartesiano ortonormale
Al fine di consentire lo studio delle nozioni metriche, si considera lo spazio vettoriale \(V^3\) dotato del prodotto scalare euclideo. Si ricorda che il prodotto scalare tra due vettori è pari a:
\({\textbf v}_1 \cdot {\textbf v}_2 = ||{\textbf v}_1|| ||{\textbf v}v_1 \cdot v_2 = ||v_1|| ||v_2|| cos(\theta) \quad con \quad \theta \in [0, \phi]\)
Fissando per tanto un punto \(O\) dello spazio e considerando la base ortonormale \(\beta = \{{\textbf i},{\textbf j},{\textbf k}i,j,k\}\) di \(V^3\), un riferimento cartesiano ortonormale dello spazio è formato da \(O\) e dai vettori di \(\beta\):
\(RC(O, {\textbf i},{\textbf j},{\textbf k}i,j,k)\)
o
\(Oxyz\)
In altri termini è un sistema di riferimento affine tale che i vettori della base siano vettori ortogonali rispetto al prodotto scalare euclideo, e di norma 1.
Si considerano quindi le rette rappresentanti di \({\textbf i},{\textbf j},{\textbf k}i,j,k\) come \(\overrightarrow{OP_1}\),\(\overrightarrow{OP_2}\),\(\overrightarrow{OP_3}\) che prendono il nome di \(x, y, z\), rispettivamente ascisse, ordinate e quote. Tali rette sono gli assi cartesiani, l'unità di misura è la stessa sicché il sistema di riferimento cartesiano ortonormale è un sistema di riferimento monometrico. In questo sistema le coordinate affini sono dette coordinate cartesiane. Si individuano anche i tre piani (piani coordinati):
- \([xy]\) individuato da \(O\) e i versori \({\textbf i},{\textbf j}i,j\)
- \([xz]\) individuato da \(O\) e i versori \({\textbf i},{\textbf k}i,k\)
- \([yz]\) individuato da \(O\) e i versori \({\textbf j},{\textbf k}j,k\)
Distanza tra due punti dello spazio
Fissato un sistema di riferimento cartesiano \(RC(O,{\textbf i},{\textbf j},{\textbf k})\) e assegnati due punti \(A(x_A,y_A,z_A) \quad e \quad B(x_B,y_B,z_B)\): si definisce distanza tra \(A\) e \(B\) (\(d(A,B)\)) la norma euclidea del vettore \(\overrightarrow{AB}\):
\(\overrightarrow{AB} = (x_B-x_A){\textbf i} + (y_B-y_A){\textbf j}+(z_B-z_A){\textbf k}\)
le cui componenti del vettore rispetto \(\{{\textbf i},{\textbf j},{\textbf k}\}\) sono proprio \((x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)\) quindi:
\(d(A,B) = ||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)
Questa operazione l'ho già effettuata numerose volte in Javascript per Forging History, Roadmap Generator, Your Mall e altri progetti.
Riferimenti nel piano
Le considerazioni fatte fin qui valgono anche nello spazio vettoriale \(V^2\) del piano, dove la base qualsiasi è \(\{{\textbf v_1},{\textbf v}_2\}\) o \({i,j}\).
