Segno di un prodotto scalare

In parte vedasi sezione "Matrice definita positiva, negativa, semidefinita, indefinita" (Matrici e Vettori).

Prodotto scalare è:

• definito positivo se \(\langle v,v\rangle > 0\) \(\forall v \in V, v \ne 0_V\) (semidefinito positivo se \(\ge 0\))
• definito negativo se \(\langle v,v \rangle < 0\) \(\forall v \in V, v \ne 0_V\) (semidefinito negativo se \(\le 0\))
• indefinito se \(\exists v,w \in V\) \(t.c. \langle v,v\rangle < 0\) \(e \langle w,w\rangle > 0\)

Per determinare la definizione del prodotto scalare è sufficiente calcolare una matrice associata rispetto ad una base \(\beta\) ed effettuare lo studio della definitezza di quella matrice secondo quanto spiegato nella sezione "Segnatura di una matrice". E' irrilevante quale base si sceglie, poiché le matrici associate ad un prodotto scalare sono congruenti, quindi hanno stesso numero di autovalori positivi/negativi/nulli e quindi stessa segnatura.

Se \(\langle ,\rangle\) è un prodotto scalare definito positivo, i vettori ortogonali sono linearmente indipendenti. Di conseguenza un'insieme di vettori ortogonali sono anche una base ortogonale di \(V\) rispetto al prodotto scalare.

Esempi

E' possibile riutilizzare le funzioni per il calcolo della segnatura di una matrice definite nella sezione "Segnatura di una matrice".

Esempio 1

x1,x2,x3,y1,y2,y3 = sp.symbols("x1 x2 x3 y1 y2 y3")

forma_bilineare = [(x1, x2, x3), (y1,y2,y3)]
definizione = -2*x1*y1 + x1*y2 + x2*y1 - x2*y2 - x3*y3
base = sp.eye(3)
A = matriceAssociataDiFormaBilineare(forma_bilineare, definizione, base)

segnatura = segnaturaMatrice(A)
print(sp.latex(segnatura))

\(\left[\begin{matrix}0 & 3 & 0\end{matrix}\right]\)

Quindi 0 positivi, 3 negativi, 0 nulli significa definita negativa, come da esercizio.

Esempio 2

x1,x2,x3,y1,y2,y3 = sp.symbols("x1 x2 x3 y1 y2 y3")
forma_bilineare = [(x1, x2, x3), (y1,y2,y3)]
definizione = x1*y1 + x1*y2 + x2*y1 + x2*y2 + x3*y3
base = sp.eye(3)
A = matriceAssociataDiFormaBilineare(forma_bilineare, definizione, base)

print(segnaturaMatrice(A))

Matrix([[2, 0, 1]])

Quindi 2 positivi, 0 negativi e 1 nullo significa semidefinita positiva, come da esercizio.

Riferimenti

• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/applicazioni-lineari/3971-studio-del-segno-di-un-prodotto-scalare.html