Omomorfismo, endomorfismo, isomorfismo, monomorfismo, epimorfismo

Omomorfismo

Applicazione lineare.

Monomorfismo

Omomorfismo iniettivo:

\(\forall {\textbf v}_1,{\textbf v}_2 \in V, {\textbf v}_1 \ne {\textbf v}_2 \to F({\textbf v}_1) \ne F({\textbf v}_2)\)

• \(dim(Ker(F)) = {0}\)
• \(dim(Im(F)) = dim(V)\)

Epimorfismo

Omomorfismo suriettivo:

\(\forall {\textbf w} \in W \quad \exists {\textbf v} \in V \quad t.c.\quad F({\textbf v}) = {\textbf w}\)

• \(Im(F) = W\)
• \(dim(V) >= dim(W)\)

Isomorfismo

Omomorfismo biiettivo:

\(\forall {\textbf w} \in W \quad \exists! \quad {\textbf v} \in V \quad t.c. \quad F({\textbf v}) = {\textbf w}\)

• se \({{\textbf v}_1, {\textbf v}_2, .., {\textbf v}_n}\) è base di \(V\) allora \({F({\textbf v}_1), F({\textbf v}_2), ..., F({\textbf v}_n)}\) è base di \(W\)
• \(dim(V) = dim(W)\), \(V\) e \(W\) sono spazi isomorfi \(V \simeq W\)
• \(F\) è invertibile ed ancora un isomorfismo
• la matrice associata a \(\beta_V\) e \(\beta_W\) è invertibile e uguale alla matrice associata sulle stesse basi dell'app lineare invertita: (\(A_F^{\beta_V, \beta_W})^{-1} = A_{F^{-1}}^{\beta_V, \beta_W}\)

Endomorfismo (operatore lineare)

Omomorfismo di uno spazio lineare in se: \(F: V\to V\)

Automorfismo

Endomorfismo biiettivo: operatore lineare suriettivo e iniettivo poichè \(dim(Im(F)) = dim(W=V)\) è suriettivo, e ne consegue, per il teorema delle dimensioni che \(Ker(F) = dim(V) - dim(Im(F)) = 0\); dunque è iniettivo.

Riferimenti

• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/applicazioni-lineari/681-omomorfismi.html