Matrice ortogonale

\(A\) (matrice QUADRATA) è ortogonale se e solo se \(A^TA = AA^T = Id_n\) e quindi la sua inversa coincide con la trasposta. Gli autovalori di una matrice ortogonale sono pari a modulo 1 e gli autovettori associati agli autovalori distinti sono tra loro ortogonali.

Proprietà

• Se una matrice \(A\) è ortogonale, è ortogonale anche la trasposta \(A^T\).
• Il determinante di una matrice ortogonale è 1 oppure -1.
• Ogni matrice ortogonale è invertibile e l'inversa coincide con la trasposta (questo perchè dato che vale \(A^TA = AA^T = Id_n\), e \(A^{-1}A=Id_n\) di conseguenza \(A^{-1}=A^T\).
• L'inversa di una matrice ortogonale è ancora una matrice ortogonale.
• Il prodotto tra due matrici ortogonali (dello stesso ordine) è una matrice ortogonale.
• Le colonne, e le righe, di una matrice ortogonale di ordine \(n\) formano una base ortonormale dello spazio \(\mathbb{R}^n\) con l'ordinario prodotto scalare standard.
• Nello spazio euclideo di dim 2 o 3 le matrici ortogonali definiscono un'isometria.
• Ogni matrice simmetrica può essere diagonalizzata da una matrice ortogonale (vedasi sezione "17").

Funzione riassumibile

def isMatriceOrtogonale(A):
    return (A*A.T) == sp.eye(A.shape[0])

Esempio

A = sp.Matrix([[1/3,2/3,2/3], [2/3,1/3,-2/3], [-2/3,2/3,-1/3]])
result = isMatriceOrtogonale(A)
print(result)

True

Riferimenti

• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/matrici-e-vettori/2693-matrici-ortogonali.html