Distanza di un punto da una retta

Nello spazio tridimensionale dotato di un sist. di rif. cartesiano ortonormale, si dispone dell'equazione di una retta \(r\) e delle coordinate di \(P(x_P,y_P,z_P)\). \(d(P,r)\) è data dalla distanza tra \(P\) e \(H\), ossia la proiezione ortogonale di \(P\) sulla retta \(r\).

• \(P \in r \to P \equiv H \to d(P,r)=0\) (effettuare questa verifica sostituendo le coordinate e vedere se soddisfano tutte le equazioni parametriche di "r")
• \(P \notin r\):
  • individuare \({\textbf v}_r\) vettore direttore della retta (vedi sezione "Retta - Direzione nello spazio")
  • scrivere l'equazione cartesiana del piano \(\alpha\) ortogonale alla retta \(r\) e passante per il punto \(P\) (vedi sezione precedente "Piano ortogonale a una retta e passante per un punto").
  • calcolare le coordinate di \(H\) (intersezione tra \(r\) e \(\alpha\)):
    • se \(r\) è in forma cartesiana è sufficiente risolvere il sistema lineare di 3 equazioni e 3 incognite formato dalle equazioni della retta \(r\) e dall'equazione dal piano \(\alpha\)
    • se \(r\) è in forma parametrica è sufficiente sostituire le coordinate parametriche nell'equazione cartesiana di \(\alpha\) ottenendo un'equazione di primo grado nell'incognita \(t\). Si sostituisce poi la soluzione dell'equazione nelle equazioni parametriche di \(r\), ottenendo le coordinate di \(H\).
  • la distanza di \(P\) da \(r\) è dunque pari a \(d(P,H)\) che si calcola (vedi "Distanza tra due punti nello spazio"): \(\sqrt{(x_P-x_H)^2 + (y_P-y_H)^2+(z_P-z_H)^2}\)

Funzione riassumibile

TODO

Riferimenti

• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/geometria-dello-spazio/720-come-calcolare-la-distanza-di-un-punto-da-una-retta-nello-spazio.html