Dall'equazione cartesiana del piano alle equazioni parametriche

L'inverso di quanto visto nella sezione precedente 4. Quale sia il sist. di rif. Data l'equazione cartesiana:

\(\pi: ax+by+cz+d=0\) con \((a,b,c) \ne (0,0,0)\)

Determinare l'equazione parametrica del piano \(\pi\):

\(x=x_0+sl_1+tl_2\)

\(y=y_0+sm_1+tm_2\)

\(z=z_0+sn_1+tn_2\)

con \(s,t \in \mathbb{R}\), \((x_0,y_0,z_0)\) coordinate cartesiane di \(P_0 \in \pi\) e \((l_1,m_1,n_1),(l_2,m_2,n_2)\) coordinate dei vettori di giacitura rispetto alla base che definisce il sist. di rif. affine od ortonormale.

• se nell'eq cartesiana compaiono tutte le incognite se ne scelgono due a cui assegnare il ruolo di parametro libero, ponendole in un sistema dove la terza equazione è quella cartesiana con i parametri sostituiti

  Ad esempio:

  \(x = s\) e \(y = t\) con \(s,t \in \mathbb{R}\)

  diventa

  \(x=s\)

  \(y=t\)

  \(a{\bf s}+b{\bf t}+cz+d=0\)

  quindi

  \(x=s\)

  \(y=t\)

  \(z= -\frac{d}{a}-\frac{a}{c}s-\frac{b}{c}t\)

• se nell'eq compaiono solo due incognite (una tra \(a,b,c\) è nulla) si assegna il ruolo di parametro libero a quella mancante e a una arbitraria delle due rimanenti, svolgendo gli stessi passaggi di cui sopra

  Ad esempio:

  \(ax+by+d=0\)

  si prende \(z=s\) e \(x=t\) con \(s,t \in \mathbb{R}\)

  e si costruisce il sistema:

  \(x=t\)

  \(a{\bf t}+by+d=0\)

  \(z=s\)

  che si risolve in:

  \(x=t\)

  \(y = - \frac{d}{b} -\frac{a}{b}t\)

  \(z=s\)

• se nell'eq compare solo un'incognita, le altre due assumono ruolo di parametro libero e si svolge la costruzione del sist. lineare come descritto sopra:

  Ad esmpio: \(ax+d=0\) quindi:

  \(x=-\frac{d}{a}\)

  \(y=s\)

  \(z=t\)

Riferimenti

• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/geometria-dello-spazio/704-passare-dall-equazione-cartesiana-del-piano-a-quelle-parametriche.html