Fascio di piani

Fascio di piani proprio

Fissato un sist. di rif. cartesiano ortonormale \(RC(O,i,j,k)\) considerando una retta \(r\), un fascio di piani proprio è formato dagli infiniti piani che contengono la retta \(r\), nota come sostegno del fascio. La forma cartesiana di una retta nello spazio è data dalle equazioni cartesiane dei due piani non paralleli che si intersecano nella retta:

\(ax+by+cz+d = 0\)

\(a'x+b'y+c'z+d' = 0\)

I piani non paralleli che individuano univocamente un fascio sono detti generatori del fascio; per tanto l'equazione di un fascio di piani proprio è data dalla combinazione lineare non banale delle equazioni dei due generatori:

\(F: \lambda(ax+by+cz+d)+\mu(a'x+b'y+c'z+d')= 0 \quad con \quad \lambda,\mu \in \mathbb{R}, (\lambda,\mu) \ne (0,0)\).

Al variare di \(\lambda\) e \(\mu\) si ottengono tutti e soli i piani del fascio \(F\).

\(\lambda\) e \(\mu\) sono omogenei, vale a dire che preso un qualsiasi numero reale non nullo \(\rho\) si ha che \((\rho\lambda,\rho\mu\)) e \((\lambda,\mu)\) individuano lo stesso piano. Per non lavorare con due parametri è quindi possibile porre \(k=\frac{\mu}{\lambda}\) con \(\lambda \ne 0\) e scrivere l'equazione del fascio come:

\(F: ax+by+cz+d+k(a'x+b'y+c'z +d')=0\) che sviluppando il prodotto e raccogliendo fa ricadere nell'equazione:

\(F:(a+ka')x +(b+kb')y+(c+kc')z+d+kd'=0\) dipendendte da un solo parametro. Non esiste così alcun valore di \(k\) che individui il secondo piano generatore del fascio il quale viene detto piano escluso del fascio.

Fascio di piani improprio

E' formato da infiniti piani paralleli tra loro, tutti con medesimi parametri direttori che individuano la direzione ortogonale a ciascuno di essi. Equazione di un fascio di piani paralleli:

\(\pi: ax+by+cz+k=0 \quad con \quad k \in \mathbb{R}\)

Al variare di \(k\) si ottengono tutti e soli gli infiniti piani del fascio.

Detarminare l'equazione di un fascio di piani

  • Fascio di piani proprio: occorrono le equazioni cartesiane di una retta o alternativamente due piani non paralleli. Si eguaglia a zero la combinazione lineare delle equazioni dei due piani.
  • Fascio di piani paralleli: equazione cartesiana di un piano o alternativamente la direzione della normale del piano. Si fa variare il termine noto nell'insieme \(\mathbb{R}\).

Esempi

Equazione fascio piani avente come sostegno \(r\) passante per due punti

I punti in questione sono \(A(1,1,1),B(2,3,1)\)

from ipynb.fs.full.retta_equazioni_cartesiane import equazioniCartesianeRetta
import sympy as sp

l,u = sp.symbols("l u")

P_0 = sp.Matrix([[1,1,1]])
P_1 = sp.Matrix([[2,3,1]])

eq_cartesiane_retta = equazioniCartesianeRetta(P_0=P_0, P_1=P_1)
F = l*(eq_cartesiane_retta[0]) + u*(eq_cartesiane_retta[1])
F

\(\displaystyle l \left(z - 1\right) + u \left(x - \frac{y}{2} - \frac{1}{2}\right)\)

Equazione fascio piani generato da due piani \(\alpha,\beta\) di cui si dispone delle equazioni cartesiane

Individuare se si tratta di fascio di piani proprio o improprio.

from ipynb.fs.full.piano_coefficienti_direttori import coefficientiDirettori
import sys
import os
module_path = os.path.abspath(os.path.join('../matrici-vettori'))
if module_path not in sys.path: sys.path.append(module_path)
from ipynb.fs.full.indipendenza_lineare import indipendenzaLineare

x,y,z = sp.symbols("x y z")

alpha = x - y + 2*z
beta = 2*x - 2*y + 4*z + 5

n_alpha = coefficientiDirettori(equazione_cartesiana=alpha)
n_beta = coefficientiDirettori(equazione_cartesiana=beta)

indipendenzaLineare([n_alpha, n_beta])
Non sono linearmente indipendenti

False

I vettori direttori sono linearmente dipendenti, per tanto si tratta di un fascio di piani improprio, la cui equazione è data da:

alpha + sp.Symbol("k")

\(\displaystyle k + x - y + 2 z\)

Riferimenti

  • https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/geometria-dello-spazio/2646-fascio-di-piani-proprio-e-improprio.html