Applicazioni lineari definite da immagini di vettori

Applicazione lineare \(F: V \to W\) tale che \(F({ v}_n) = F({ w}_n)\).

Teorema di esistenza ed unicità di un'applicazione lineare

Con \({ v}_i\) rappresentante i vettori di una base \(\beta_V\) del dominio \(V\), esiste un'unica app lineare \(F:V \to W\) tale che \(F({ v}_i) = { w}_i\) per ogni i app. \(\{1, 2, ..., n\}\).

Studio esistenza ed unicità di un'applicazione lineare definita da immagini di vettori

Un'applicazione definita mediante immagini di vettori del dominia esiste ed è unica se: \(F({ v}_1)={ w}_1;F({ v}_2)={ w}_2;...;F({ v}_n)={ w}_n\) Chiamando \(\varphi\) l'insieme di \(\{{ v}_1, { v}_2, ..., { v}_n\}\)

• Se i vettori di \(\varphi\) formano una base dello spazio \(V\) allora \(F\) esiste ed è unica.
• Se \(\varphi\) non è una base di \(V\) si distinguono i seguenti casi:
  • se \(\varphi\) non formano un sistema di generatori di \(V\), ma sono linearmente indipendenti, l'applicazione esiste ma non è unica;
  • se \(\varphi\) non formano un sistema di generatori di \(V\) e sono linearmente dipendenti, si controlla la coerenza della definizione di \(F\):
    • si suppone che \(n-k\) vettori (\({ v}_{k+1}, { v}_{k+2}, ..., { v}_n\)) dipendono linearmente da \({ v}_{1}, { v}_{2}, ..., { v}_k\) e questi ultimi formino un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti dell'nsieme di preimmagini assegnate.
    • si esprime ciascuno degli \(n-k\) vettori come combinazioni lineari degli altri \(k\): \({ v}_{k+1} = \alpha_{k+1,1}{ v_1} + \alpha_{k+1,2}{ v_2} + ... + \alpha_{k+1,k}{ v_k}\) \({ v}_{k+2} = \alpha_{k+2,1}{ v_1} + \alpha_{k+2,2}{ v_2} + ... + \alpha_{k+2,k}{ v_k}\) \(...\) \({ v}_n = \alpha_{n,1}{ v_1} + \alpha_{n,2}{ v_2} + ... + \alpha_{n,k}{ v_k}\)
    • si calcolano le immagini di tutte le combinazioni lineari tramite \(F\):
      • se le immagini delle comb. lineari coincidono con le rispettive immagini assegnate inizialmente (\(F(\alpha_{i,1}{ v_1} + \alpha_{i,2}{ v_2} + ... + \alpha_{i,k}{ v_k}) = F({ v}_i) \quad \forall i = (k+1),..,n\)) le informazioni fornite sono coerenti, l'applicazione esiste ma non è unica;
      • se esiste anche solo una combinazione lineare la cui immagine mediante \(F\) è diversa da quella assegnata inizialmente () la trasformazione non esiste (incoerenza).
  • se \(\varphi\) costituiscono un sistema di generatori di \(V\) formato da vettori linearmente dipendenti si controlla la coerenza della definizione:
    • se non vi è coerenza l'applicazione non esiste;
    • se vi è coerenza l'applicazione esiste ed è unica.

Riassumendo

Modalità rapide per studiare esistenza e unicità

• 1) Disporre i vettori preimmagine come righe di una matrice (nel caso tale definizione fosse polinomiale trasformarle nello spazio vettoriale rispetto alla base canonica di \(\mathbb{R}_n[x]\). Se il determinante è diverso da zero allora formano una base di \(V\), per tanto la trasformazione lineare esiste ed è unica.
• 2) I vettori preimmagine sono linearmente indipendenti ma non costituiscono un generatore di \(V\) poiché in quantità minore della dimensione di \(V\); per tanto l'applicazione esiste ma non è unica.

Riferimenti

• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/applicazioni-lineari/3957-applicazioni-lineari-definite-mediante-immagini-di-vettori.html