Matrice associata a un prodotto scalare

La matrice associata ad un prodotto scalare \(i,j\) rispetto ad una base \(\beta = \{v_1, v_2, .., v_n\}\) è la matrice nella forma: \(A = a_{i,j} = \langle v_i, v_j \rangle = \langle v_j, v_i \rangle \forall i,j \in \{1,2,..,n\}\)

Per via della simmetria \(v_i v_j\) la matrice è simmetrica. E' quindi sufficiente ricavare i prodotti della diagonale per poi ricavare gli altri per simmetria.

Matrice associata a prodotto scalare

Vale quanto detto per le forme bilineari: delle matrici associate alla stessa forma rispetto a basi differenti sono congruenti.

Esempi

Si può riutilizzare la funzione delle forme bilineari.

1

x1,x2,y1,y2 = sp.symbols("x1 x2 y1 y2")

forma_bilineare = [(x1, x2), (y1,y2)]
definizione = 3*x1*y1 - 2*x1*y2 - 2*x2*y1 + x2*y2

base = sp.eye(2)
A = matriceAssociataDiFormaBilineare(forma_bilineare, definizione, base)
print(sp.latex(A))

\(\left[\begin{matrix}3 & -2\\-2 & 1\end{matrix}\right]\)

Come da esercizio

2

x1,x2,x3,y1,y2,y3 = sp.symbols("x1 x2 x3 y1 y2 y3")

forma_bilineare = [(x1, x2, x3), (y1,y2,y3)]
definizione = x1*y1+x2*y2+x3*y3

base = sp.Matrix([[1,0,1],[0,-1,2],[1,0,-3]])
A = matriceAssociataDiFormaBilineare(forma_bilineare, definizione, base)
print(sp.latex(A))

\(\left[\begin{matrix}2 & 2 & -2\\2 & 5 & -6\\-2 & -6 & 10\end{matrix}\right]\)

Come da esercizio.

Riferimenti

• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/applicazioni-lineari/3970-matrice-rappresentativa-di-un-prodotto-scalare.html