Completamento a base e teorema di completamento

Teorema

Costruzione base di uno spazio vettoriale partendo da dei vettori linearmente indipendenti. Siano \(v1, v2, .., v_p\) con \(p < n\) apparententi a spazio vettoriale di dimensione \(n\), esistono \(n-p\) vettori che insieme a quelli precedenti costituiscono una base (\(\{v_1, v_2, .., v_p, w_1, w_2, w_{(n-p)}\}\) è base dello spazio).

Algoritmo

• verificare l'indipendenza lineare dei vettori iniziali (basta verificare che il rango della matrice con i vettori in colonna sia il rango massimo, in alternativa con la funzione riassumibile che ho scritto). Se non lo sono non si procede, altrimenti:
• si considera l'insieme di vettori costituito dai vettori iniziali e dalla base canonica dello spazio vettoriale a cui appartengono
• disporre questi vettori in colonna in una matrice e quindi procedere all'individuazione della base come indicato nella sezione precedente (come estrarre una base da un sistema di generatori) (usando funzione estrapolaLinearmenteIndipendenti()). Vale anche per spazi polinomiali e matrici.

Funzione riassumibile

def completamentoABase(basi, dimensione):
        completamento = sp.zeros(0)
        for base in basi:
            for v in range(base.shape[0]):
                completamento = completamento.row_insert(v, base.row(v))
        base_canonica = sp.eye(dimensione)
        for i in range(dimensione):
            completamento = completamento.row_insert(dimensione+i, base_canonica.row(i))
        return estrapolaLinearmenteIndipendenti(completamento)

Esempio

Completare l'insieme formato da \(v_1=(1,1,0,2), v_2=(1,2,0,4)\) due vettori di \(V=\mathbb{R}^4\) verificandone in prima istanza che siano linearmente indipendenti. Soluzione: sono linearmente indipendenti, la base ottenuta dal completamento è \(\beta=\{v_1,v_2,e_2,e_3\}\).

v1 = sp.Matrix([[1,1,0,2]])
v2 = sp.Matrix([[1,2,0,4]])

result = completamentoABase([v1, v2], 4)
print(result)

Matrix([[1, 2, 0, 4], [1, 1, 0, 2], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0]])

Ha trovato linearmente indipendenti \(v_1, v_2, e_2, e_3\), proprio come nell'esercizio.

Riferimenti

• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/matrici-e-vettori/3866-completamento-a-base.html