Base di autovettori ed endomorfismo diagonalizzabile

Se esiste una base \(\beta\) di \(V\) i cui vettori sono autovettori dell'endomorfismo \(F\), la matrice associata di \(F\) (\(A_F^\beta\)) è diagonalizzabile.

Criterio di diagonalizzabilità

Le caratteristiche richieste per la determinazione sono quelle della sezione "Matrice Diagonale". Nel caso in cui un endomorfismo non sia diagonalizzabile si può verificare se può essere triangolarizzabile (sezione "Matrice triangolare").

Esempio 1

x,y,z,a,b,c = sp.symbols("x y z a b c")

b_v = sp.eye(3)

preimmagini = [sp.Matrix([[1,0,0]]),sp.Matrix([[0,1,0]]),sp.Matrix([[0,0,1]])]
immagini = [sp.Matrix([[1,0,0]]), sp.Matrix([[2,0,-1]]), sp.Matrix([[3,1,0]])]

A = matriceAssociataDaImmaginiVettori(preimmagini, immagini, b_v, b_v)

result = matriceDiagonale(A)
print(result)

{'diagonalizzabile': True, 'matriceDiagonale': Matrix([ [-I, 0, 0], ...

Nel caso dell'endomorfismo alcuni autovalri ricadono nel campo dei complessi \(\mathbb{C}\), per tanto non è diagonalizzabile per l'endomorfismo. Il risultato è valido se come spazio di definizione si prende \(\mathbb{C}_2[x]\) invece di \(\mathbb{R}_2[x]\).

Esempio 2

x,y,z,a,b,c = sp.symbols("x y z a b c")
b_v = sp.eye(3)

definizione = [-y,y,x+y+z]

A = matriceAssociataDaFormaEsplicita(definizione, b_v, b_v, [x,y,z])

result = matriceDiagonale(A)
print(result)

{'diagonalizzabile': True, 'matriceDiagonale': Matrix([ [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 0]]), 'matriceDiagonaleCheck': Matrix([ [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 0]]), 'matriceDiagonalizzante': Matrix([ [ 1, 0, 1], [-1, 0, 0], [ 0, 1, -1]])}

Risultato coerente, ma non coincidente con l'esercizio per scelta di differenze matrice diagonale rappresentativa di \(F\) e differente scelta dei parametri liberi del sistema per calcolare la base delle soluzioni del sistema lineare omogeneo derivante dalla matrice diagonale.

Riferimenti

• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/applicazioni-lineari/3967-base-di-autovettori-e-endomorfismo-diagonalizzabile.html