Base da sistema di generatori

Per estrarre una base di un sottospazio generato dal sistema di generatori che lo ha generato ci sono diversi metodi tra cui tramite la riduzione gaussiana (https://levelup.gitconnected.com/gaussian-elimination-algorithm-in-python-4e90cb3a0fd9).

• Si prendono i vettori che costituiscono il sistema e li si dispongono come colonne di una matrice $M$ di $n$ (numero di vettori del sistema di generatori) colonne ed $m$ (dimensione del vettore) righe.
• Si riduce la matrice nella matrice in scala $M'$ tramite eliminazione gaussiana (vedi link per Python). Le colonne di $M$ corrispondenti a quelle di $M'$ contenenti i pivot indicano i vettori linearmente indipendenti, ossia che costituiscono la base.

Per il calcolo dei polinomi si fa la stessa cosa mettendoli per colonna basandosi sull’ordine della base canonica $(1, x, x^2)$.

Per le matrici: si trasformano le matrici in righe (es. $\begin{bmatrix}3&2\\3&6\end{bmatrix}$ diventa $(3,2,3,6)$), si ottengono quindi dei vettori che poi si andranno a mettere incolonnati sulla matrice $M$ continuando con quanto descritto sopra.

Esempio (spazio vettoriale)

I vettori $v_1=(1,1,2),v_2=(3,2,1),v_3=(4,4,4),v_4=(3,6,1)$ compongono un sistma di generatori di $\mathbb{R}^3$.
La base risultante dovrebbe essere: $\beta=\{(1,1,2),(3,2,1),(4,4,4)\}$.

Sfrutto la funzione indipendenzaLineare() (scritta nella sezione 4) per capire quali sono linearmente indipendenti:

p1=sp.Matrix([[1,1,2]])
p2=sp.Matrix([[3,2,1]])
p3=sp.Matrix([[4,4,4]])
p4=sp.Matrix([[3,6,1]])
vettori = [p1,p2,p3,p4]
size = len(vettori)
last_linear_indipendent = None
for d in range(size):
    dim = d+1
    for i in reversed(range(size-d)):
        print("da " + str(i) + " a " + str(i+dim))
        _vettori = vettori[i:i+dim]
        print(_vettori)
        if indipendenzaLineare(_vettori) is True:
            last_linear_indipendent = _vettori
print(last_linear_indipendent)

[Matrix([[1, 1, 2]]), Matrix([[3, 2, 1]]), Matrix([[4, 4, 4]])]

Corretto, come nell’esercizio.

Funzione riassumibile

def estrapolaLinearmenteIndipendenti(vettori):
    _, inds = sp.Matrix(vettori).T.rref()
    linear_indip = sp.zeros(0)
    for ix in inds:
        linear_indip = linear_indip.row_insert(ix, vettori.row(ix))
    return linear_indip

Esempio (spazio polinomiale)

$S=Span(p_1(x),p_2(x),p_3(x))$
con
$p_1(x) = 2+x+x^2$
$p_2(x) = 3x+2x^2$
$p_3(x)=6+x^2$
Considerando la base canonica di $\mathbb{R^2[x]}$ $C = \{1, x, x^2\}$ si hanno i vettori: $(2,1,1), (0,3,2), (6,0,1)$.
La base risultante dovrebbe essere $\beta = \{p_1(x), p_2(x)\}$

p1=sp.Matrix([[2,1,1]])
p2=sp.Matrix([[0,3,2]])
p3=sp.Matrix([[6,0,1]])
vettori = sp.Matrix([p1,p2,p3])
b = estrapolaLinearmenteIndipendenti(vettori)
print(b)

[Matrix([[2, 1, 1]]), Matrix([[0, 3, 2]])]

Che, correttamente, corrispondono a $p_1(x)$ e $p_2(x)$.

Riferimenti

• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/matrici-e-vettori/680-ricavare-una-base-da-un-sistema-di-generatori.html