Coefficenti direttori del piano

Data l'equazione cartesiana del piano \(\pi: ax+by+cz+d=0\) fissata in un sist. di rif. affine o ortonormale, i coefficienti direttori del piano \(\pi\) sono i coefficienti \(a,b,c\) delle incognite \(x,y,z\) e costituiscono il vettore dei coefficienti direttori:

\({\textbf n} = (a,b,c)\)

Essi individuano la direzione ortogonale del piano, per tanto \({\textbf n}\) è ortogonale ad ogni vettore del piano (e a ogni vettore parallelo ad esso).

Determinare i coefficienti direttori

In forma cartesiana

Sono semplicemente quelli indicati in grassetto:

\(a{\textbf x}+b{\textbf y}+c{\textbf z}+d=0\)

Ad esempio i coefficienti direttori del piano epresso in forma cartesiana \(2x+3y-z+1=0\) sono il vettore \({\textbf n}=(2,3,-1)\)

In forma parametrica

• Una modalità può essere quella di passare dalla forma parametrica a quella cartesiana (vedi sezione "Dalle equazioni parametriche all'equazione cartesiana").
• Altrimenti, solo utilizzando un sistema di riferimento ortonormale, il vettore dei parametri direttori si ottiene dal prodotto vettoriale dei vettori di giacitura \({\textbf v}\) e \({\textbf w}\), questo perchè il prodotto vettoriale tra due vettori linearmente indipendenti è, per definizione, ortogonale ai due vettori stessi:

\({\textbf n} = {\textbf v} \times {\textbf w}\)

quindi calcolando il determinante nel seguente modo:

\(v \times w = det\begin{bmatrix}i&j&k\\l_v&m_v&n_v\\l_w&m_w&n_w\end{bmatrix}\)

Funzione riassumibile

import sympy as sp
from ipynb.fs.full.piano_equazioni_parametriche_equazione_cartesiana import equazioniParametrichePianoToEquazioneCartesiana

def coefficientiDirettori(equazione_cartesiana: sp.Expr = None, equazioni_parametriche: sp.Expr = None, s: sp.Symbol=None, t: sp.Symbol=None) -> sp.Matrix:
    if equazioni_parametriche is not None:
        if s is None and t is None:
            s,t = sp.symbols("s t")
        equazione_cartesiana = equazioniParametrichePianoToEquazioneCartesiana(equazioni_parametriche, s, t)

    poly = sp.Poly(equazione_cartesiana)
    x,y,z = sp.symbols('x y z')
    xv,yv,zv = 0,0,0
    if x in equazione_cartesiana.free_symbols:
        xv = poly.coeff_monomial(x)
    if y in equazione_cartesiana.free_symbols:
        yv = poly.coeff_monomial(y)
    if z in equazione_cartesiana.free_symbols:
        zv = poly.coeff_monomial(z)

    return sp.Matrix([[xv,yv,zv]])

Esempi forma cartesiana

x,y,z = sp.symbols("x y z")

eq_cartesiana = 2*x + 3*y - z + 1

coefficientiDirettori(equazione_cartesiana=eq_cartesiana)

\(\displaystyle \left[\begin{matrix}2 & 3 & -1\end{matrix}\right]\)

x,y,z = sp.symbols("x y z")

eq_cartesiana = 8*x - z

coefficientiDirettori(equazione_cartesiana=eq_cartesiana)

\(\displaystyle \left[\begin{matrix}8 & 0 & -1\end{matrix}\right]\)

x,y,z = sp.symbols("x y z")

eq_cartesiana = -3*z + 7

coefficientiDirettori(equazione_cartesiana=eq_cartesiana)

\(\displaystyle \left[\begin{matrix}0 & 0 & -3\end{matrix}\right]\)

Esempi forma parametrica

x,y,z,t,s = sp.symbols("x y z t s")
eq_parametriche= [
    x - 1 - t,
    y - 2 + t - s,
    z - 3
]

coefficientiDirettori(equazioni_parametriche=eq_parametriche, s=s, t=t)

\(\displaystyle \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1\end{matrix}\right]\)

x,y,z,t,s = sp.symbols("x y z t s")
eq_parametriche= [
    x - 1 - s - t,
    y + 2*s - 3*t,
    z - 2 - t
]

coefficientiDirettori(equazioni_parametriche=eq_parametriche, s=s, t=t)

\(\displaystyle \left[\begin{matrix}- \frac{2}{5} & - \frac{1}{5} & 1\end{matrix}\right]\)

Riferimenti

• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/geometria-dello-spazio/717-parametri-direttori-di-un-piano.html