Equazioni parametriche del piano

Equazione vettoriale di un piano

Il piano \(\pi\) passante per \(P_0\) e parallelo ai vettori \({\textbf v}\) e \({\textbf w}\) (linearmente indipendenti e paralleli a \(\pi\)) è l'insieme dei punti \(P\) dello spazio tali che i vettori \(\overrightarrow{P_0P},{\textbf v},{\textbf w}\) siano complanari, ossia che \(\overrightarrow{P_0P}\) dipende linearmente dai vettori \(v,w\). Per tanto:

\(\overrightarrow{P_0P}=s{\textbf v}+t{\textbf w}\)

Equazione vettoriale del piano \(\pi\), con \({\textbf v}\) e \({\textbf w}\) vettori di giacitura di \(\pi\).

Equazioni parametriche di un piano

Dati

• \(P(x,y,z)\) un generico punto del piano \(\pi\)
• \(RC(O,{\textbf i},{\textbf j},{\textbf k})\) un sistema di riferimento cartesiano ortonormale
• \(s\) e \(t\) due parametri \(\in \mathbb{R}\)
• \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) uno specifico punto appartenente a \(\pi\)
• \({\textbf v} = l_1{\textbf i}+m_1{\textbf j}+n_1{\textbf k}\) e \(w=l_2{\textbf i}+m_2{\textbf j}+n_2{\textbf k}\) i vettori di giacitura Il seguente sistema lineare è composto dalle equazioni parametriche del piano:

\(x = x_0 + sl_1 + tl_2\)

\(y = y_0 + sm_1 + tm_2\)

\(z = z_0 + sn_1 + tn_2\)

Equazioni parametriche di un piano dove sono conosciuti tre punti

Se sono noti 3 punti non allineati dello spazio, si possono ricavare \({\textbf v}\) e \({\textbf w}\) (vettori di giacitura):

• \({\textbf v} = \overrightarrow{P_0P_1} = P_1-P_0\)
• \({\textbf w} = \overrightarrow{P_0P_2} =P_2-P_0\) da cui costruire l'usuale sistema.

Funzione riassumibile

import sympy as sp
from typing import List

def equazioniParametrichePiano(P_0: sp.Matrix, v: sp.Matrix = None, w: sp.Matrix = None, P_1: sp.Matrix = None, P_2: sp.Matrix = None) -> List[sp.Expr]:
    s,t = sp.symbols("s t")

    def eq_parametriche_da_giacitura(_P_0, _v, _w):
        x = _P_0[0,0] + s*_v[0,0] + t*_w[0,0]
        y = _P_0[0,1] + s*_v[0,1] + t*_w[0,1]
        z = _P_0[0,2] + s*_v[0,2] + t*_w[0,2]

        return [x,y,z]

    if v is not None and w is not None:
        return eq_parametriche_da_giacitura(P_0, v, w)
    elif P_1 is not None and P_2 is not None:
        v = P_1 - P_0
        w = P_2 - P_0
        return eq_parametriche_da_giacitura(P_0, v, w)
    else:
        raise Exception("Fornire i vettori di giacitura o 3 punti del piano")

Esempio con vettori di giacitura e un punto

I vettori \({ v}=-{ i}-2{ j}+{ k}\) e \({ w}=3{ i}+{ j}\) sono vettori di giacitura linearmente indipendenti (va effettuata la verifica), il piano passante per \(P_0=(1,0,3)\) risulta essere: \(x = 1 -s + 3t\) \(y = -2s + t\) \(z = 3 + s\)

P_0 = sp.Matrix([[1,0,3]])
v = sp.Matrix([[-1,-2,1]])
w = sp.Matrix([[3,1,0]])

equazioniParametrichePiano(P_0, v=v, w=w)

[-s + 3*t + 1, -2*s + t, s + 3]

Esempio con 3 punti non allineati

P_0 = sp.Matrix([[1,1,1]])
P_1 = sp.Matrix([[1,0,-2]])
P_2 = sp.Matrix([[0,3,-3]])

equazioniParametrichePiano(P_0, P_1=P_1, P_2=P_2)

[1 - t, -s + 2*t + 1, -3*s - 4*t + 1]

Riferimenti

• https://www.youmath.it/lezioni/algebra-lineare/geometria-dello-spazio/698-come-trovare-le-equazioni-parametriche-di-un-piano.html